Métodos de solución de las ecuaciones factorizables asociadas a una función polinomial de grados: tres y cuatro.

Teorema de los ceros racionales

Es un método algo largo, y también algo difícil de explicar aquí, pero intentare explicarlo

para este metodo pondre de ejemplo la siguiente ecuacion:

x^4+x³+3x²+6=10-2x³+3x

lo primero que se hace, es igualar la ecuacion a 0, asi que pasamos todo al lado izquierdo:

x^4+3x³+3x²-3x-4=0

despues de esto, localizamos el termino lineal, que es el que no tiene incognita y lo llamamos c
tambien localizamos el termino de grado mayor, y lo llamamos d
en este caso c es 4 y d es 1

ahora, se buscan los divisores de cada numero:

los divisores de c: +/-1,+/-2,+/-4
los divisores de d: +/-1

y despues, dividimos cada numero que obtuvimos en c, entre cada numero que obtuvimos en d:
c/d= +/-1, +/-2, +/-4

ahora, segun el teorema de los ceros racionales, uno de los numeros que obtuvimos en esa division, es una de las 4 respuestas de la ecuacion

el siguiente paso es sustituir cada uno de estos numeros en la ecuacion igualada a 0, se sustituyen hasta que encontremos un numero que cumpla con la igualdad

empecemos con el +1

1^4+3(1³)+3(1²)-3(1)-4=0
1+3(1)+3(1)-3-4=0
1+3+3-3-4=0
0=0

como se puede ver, llegamos a 0=0, lo que significa que la igualdad se cumple, por lo que +1, es una de las cuatro raices de la ecuacion

nos faltan otras 3 raices, por lo que podriamos tratar con los demas numeros que resultaron de c/d
pero es mas sencillo degradar la ecuacion

esto se hace mediante una division sintetica:

x^4+3x³+3x²-3x-4 / 1

1..... 3..... 3..... -3..... -4...|__1__

____1___4____7____4____
1..... 4..... 7..... 4....... 0

al hacer esto obtenemos una nueva ecuacion, pero esta vez de tercer grado:

x³+4x²+7x+4=0

y se vuelve a hacer lo mismo que hicimos al principio, se saca c/d, y cada numero obtenido de ahi se sustituye en la ecuacion para encontrar uno que cumpla con la igualdad

c/d= +/-1, +/-2, +/-4

probamos con +1
1³+4(1²)+7(1)+4=0
1+4+7+4=0
16=0

y no se cumple la igualdad, asi que seguimos con el -1

(-1)³+4(-1)²+7(-1)+4=0
-1+4(1)-7+4=0
-1+4-7+4=0
0=0

y se obtiene la igualdad, por lo que -1 es otra de las raices e la ecuacion

y volvemos a hacer la division sintetica:

x³+4x²+7x+4 / -1

1...... 4...... 7..... 4.....|__-1__

____-1___-3__-4__
1...... 3...... 4..... 0

y con esto llegamos a una ecuacion cuadratica:

x²+3x+4=0

la cual ya se puede resolver sin problemas

con esto obtenemos que las 4 respuestas a la ecuacion original son 1, -1, y los 2 valores que obtengamos de la ecuacion cuadratica



El número se toma independiente del signo, asi que si, lo que se toma es el valor absoluto del numero.

El caso general

Una ecuación de tercer grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:

# ax³ + bx² + cx + d = 0,

donde a, b,c y d (a ≠ 0 ) son nümeros que pertenecen a un cuerpo, usualmente a R o a ℂ. Sea K un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer raíces cuadradas y cübicas. En este cuerpo, es posible factorizar por todo a ≠ 0, y la identidad siguiente es válida:

# (a - b)3 = a3 - 3a2b +3ab2 - b3

Basta con encontrar una solución, digamos r, pues al factorizar ax3 + bx2 + cx + d por x - r, obtenemos una ecuación de segundo grado que sabemos resolver, lo que dará las demás raíces. En un cuerpo algebráicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 3 tiene tres raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, segün el Teorema Fundamental del Álgebra.

Los pasos de la resolución son:

* Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a (a ≠ 0 ). Se obtiene:

# x3 + b'x2 + c'x + d' = 0 con b' = b/a, c' = c/a, d' = d/a.

* Proceder al cambio de incógnita z = x + b'/3, para suprimir el término cuadrado. En efecto, al desarollar (z - b'/3)3 con la identidad precedente, vemos aparecer el término -b'z2, compensado exactamente por b'z2 que aparece en b'(z - b'/3)2. Se obtiene:

# z3 + pz + q = 0, con p y q nümeros del cuerpo.

* y ahora, la astucia genial: escribir z = u + v.

La ecuación precedente da (u + v)3 + p(u+v) + q = 0.

# Desarollando: u3 + 3u2v + 3uv2 + v3 + pu + pv + q = 0.
# Reagrupando: (u3 + v3 + q) + (3uv2 + v3 + pu + pv) = 0.
# Factorizando: (u3 + v3 + q) + (u + v)(3uv + p) = 0.

Comó se ha introducido una variable adicional (u y v en vez de z) , es posible imponerse una condicion adicional. Concretamente:

# 3uv + p = 0, que implica u3 + v3 + q = 0 .

* Pongamos U = u3 y V = v3. Entonces tenemos U + V = - q y UV = - p3/27 porque UV = (uv)3 = (-p/3)3.

Por lo tanto U y V son las raíces de la ecuación auxiliar (E) X2 + qX - p3/27 = 0, que se sabe resolver.

Luego u y v son raíces cübicas de U y V (que verifican uv = -p/3), z = u + v y finalmente x = z - b'/3. En el cuerpo C, si u0 y v0 son estas raíces cübicas, entonces las otras son ju0 y j2u0, y por supuesto jv0 y j2v0, con j = e2iπ/3, una raíz cubica de la unidad.

Como el producto uv está fijado ( uv = -p/3) las parejas (u, v) posibles son ( u0, v0), ( ju0 , j2v0) y (j2u0, jv0).

Las otras raíces de la ecuación de tercer grado son por lo tanto ju0 + j2v0 - b'/3 y j2u0 + jv0 - b'/3.




II El caso real

Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es algebráicamente cerrado, por lo tanto, el nümero de raíces reales no es siempre 3. Las que faltan se encuentran en C, extensión agebráica cerrada de R. La distinción aparece cuando se sacan las raíces cuadradas en el cálculo de U y V. Las raíces cübicas no plantean problemas.

Se demuestra que el nümero de raíces reales depende del discriminante (multiplicado por 27) de la ecuación auxiliar Δ = 4p3 + 27q2:

* Si Δ > 0 existe una ünica raíz real. Las demás son complejas conjugadas.
* Si Δ = 0 existe una raíz multiple real: una raíz triple o una doble y otra simple, todas reales.
* Si Δ < 0 existen tres raíces reales.

Habrán notado que siempre hay por lo menos una solución real. Es debido a que las funciones polinomiales no constantes tienen límites infinitos en + ∞ y - ∞ y las de grado impar tienen límites de signos contrarios. Como son funciones contínuas, tienen que pasar por cero, por el teorema de los valores intermedios. En la figura siguiente se registra todos los casos, segün los signos de a y de Δ.

imagen:tercer_grado_curvas.png

III Primer ejemplo

Sea 2t3 + 6t2 + 12t + 10 = 0 Sigamos los pasos descritos en el primer párrafo.

* t3 + 3t2 + 6t + 5 = 0 (al dividir por 2)
* con x = t + 1, es decir t = x - 1 reemplazando: (x - 1)3 + 3(x - 1)2 + 6(x - 1) + 5 = 0

desarollando: x3 + 3x + 1 = 0

* x = u + v, U = u3, V = v3 y nos imponemos U + V = - 1 y UV = - 1.

U y V son las raíces de X2 + X - 1 = 0.

imagen:tercer_grado_ejemplo_1.png




IV segundo ejemplo

Este ejemplo es histórico porque fue el que tomo Bombelli quien fue, con Cardano, el primero en resolver ecuaciones del tercer y cuarto grado por el método ya expuesto (en la Italia del renacimiento, en pleno siglo XVI).

La ecuación es x3 - 15x - 4 = 0.

Estudiando la función x → x3 - 15x - 4 o calculando el discriminante Δ = -13068 < 0, nos damos cuenta que esta ecuación tiene tres raíces ( vean el cuadro 3 de la figura). Por lo tanto debería ser más facil que en el primer ejemplo encontrar una.

Los dos primeros pasos son inütiles. Pasamos al tercero: x = u + v , U = u3, V = v3.

# U + V = 4 y UV = 125

U y V son las raíces de X2 - 4X + 125 = 0, ecuación cuyo determinante ya hemos calculado. 



En este enlace entontrarás para resolver funciones de tercer grado. Siempre son mejores los videos que
las explicaciones escritas.
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=Y1NoRAsb0Js

Cuarto grado. 

Los m´etodos de resoluci´on por radicales de las ecuaciones polin´omicas de tercer y
cuarto grado son unas de esas antiguallas absolutamente inutiles ´ que est´a feo que un
matem´atico no conozca. Como es bien sabido,si K es un cuerpo de caracter´ıstica distinta
de 2 y a, b, c ∈ K, con a 6= 0, las soluciones de la ecuaci´on cuadr´atica.....
He encontrado este maravilloso libro o reseña que les infoma muy claramente, por favor
chécalo te ayudará demasiado.

Tenga en cuenta que puede haber otros métodos aparte de estas enormes fórmulas para resolver cúbicas o cuárticas.  Pero quería mostrar aquí que las fórmulas realmente existen.

La forma general de la ecuación de cuarto grado (o cuártica) es:  ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0

Las ecuaciones de cuarto grado tienen 4 soluciones (o raíces).

En su forma más general, estas 4 soluciones se pueden representar así:

Primera solución: 

Segunda solución:



Tercera solución:







Cuarta solución:









http://www.uv.es/ivorra/Libros/Ecuaciones.pdf




Método de descartes:
http://www.slideshare.net/lejopira/mtodo-de-descartes-para-la-resolucin-aproximada-de-ecuaciones-de-cuarto-grado
Método de ferrari:
http://www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/Algebra/Ecuaciones/Ecuac4.htm











http://www.youtube.com/watch?v=Ph_AGw6MvFg