Comportamiento de la gráfica de una función polinomial en una función polinomial de grados: tres y cuatro.

Gráficas de Polinomios de la forma x ⁿ

    

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Comportamiento a largo plazo de una función polinómica

Considerar la siguiente tabla que contiene los valde $f$ x = x 2 y $g$ x = x 2 + 4 x + 5

x	-1000	-100	-10	-1	0	1	10	1000	1000
f(x)	1000000	10000	100	1	0	1	100	10000	1000000
g(x)	996005	9605	65	2	5	10	145	10405	1004005

Considerar la siguiente tabla que contiene los valores de $f$ x = 2 x 3 y $g$ x = 2 x 3 - 2 x 2 + 3 x + 6

x	-1000	-100	-10	-1	0	1	10	1000	1000
f(x)	-2.000×109	-2.000×106	-2000	-2	0	2	2000	2.000×106	2.000×109
g(x)	-2.002×109	-2.020×106	-2224	-1	6	9	1836	1.980×106	1.998×109

Nota como se comparan los valores de ambas funciones para distintos valores de x.
Conclusión: Cuando la magnitud de x es grande los valores de g(x)=axⁿ +... se parecen a los valores de f(x)=axⁿ.
La aplicacion de abajo, muestra las gráficas de g(x)=axⁿ y f(x)=axⁿ + ...
Cambia el zoom para verificar que las gráficas se ven iguales cuando los valores de x cubren un rango amplio. También puedes presionar el boton de la parte superior derecha para conseguir otra función f:


Recuerda que r es una raíz simple de f(x), si el factor (x-r) aparece una sola vez en la fórmula factorizada de f(x).
En la aplicación de arriba debemos poder observar que la gráfica cerca a una raiz simple se ve como:

Recuerda que r es una raíz doble de f(x), si el factor (x-r) aparece exactamente dos veces en la fórmula factorizada de f(x).
En la aplicación de arriba debemos poder observar que la gráfica cerca a una raiz doble se ve como:

Recuerda que r es una raíz triple de f(x), si el factor (x-r) aparece exactamente tres veces en la fórmula factorizada de f(x).
En la aplicación de arriba debemos poder observar que la gráfica cerca a una raiz triple se ve como:

En general, el comportamiento de la gráfica de una función racional cerca de una raíz está condicionado por la multiplicidad de dicha raíz.

Si una función polinomial tiene una raíz r de multiplicidad k, entonces: La gráfica de la función cruza el eje x si k es impar. La gráfica de la función toca el eje x pero no lo cruza, si k es par.

Ejemplo:
Las raíces de la función polinomial $f$ x = x3 x + 3 2 x + 2 x - 3 4 son:
x=-3 (multiplicidad 2), x=-2 (multiplicidad 1), x=0 (multiplicidad 3) y x=3 (multiplicidad 4).
La gráfica de esta función es la siguiente:

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Haga clic en el siguiente enlace para practicar los conceptos gráficos relacionados a las raíces de un polinomio:

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Cambio de signos de una función polinómica

Una función polinómica es continua, por lo tanto, su gráfica no se corta en ningún punto. Por esta razón las funciones polinómicas solo cambian de signo en sus raíces. Gráficamente esto significa que, entre dos raíces consecutivas, la gráfica esta completamente por encima del eje x o completamente por debajo del ejex. En la lección de Inecuaciones Polinómicas y Racionales utilizamos este hecho para evaluar el signo de un polinomio en un intervalo de prueba.
Ejemplo:
Considera la función polinómica: $f$ x = x 5 + 2 x 4 - 3 x 3 .
Factorizamos para obtener sus raíces:

$x$ 5 + 2 x 4 - 3 x 2 = x 3 ( x 2 + 2 x - 3 ) = x 3 ( x + 3 ) ( x - 1 )

De donde obtenemos las raíces de f(x) y son:

$x^{}$ 3 = 0 x = 0

$x$ + 3 = 0 x = - 3

$x$ - 1 = 0 x = 1

Las raíces determinan los intervalos en los que la función tiene el mismo signo. Por lo tanto, vamos a evaluar el signo de los intervalos determinados por las raíces:

Intervalo	Punto de Prueba	Función evaluada en el punto de prueba	Signo del Intervalo
$($ - ∞ , - 3)	x = -4	$($ - 4 ) 3 ( - 4 + 3 ) ( - 4 - 1 ) = ( - 64 ) ( - 1 ) ( - 5 ) = - 320	$-$
$($ - 3 , 0 )	x = -1	$($ - 1 ) 3 ( - 1 + 3 ) ( - 1 - 1 ) = ( - 1 ) ( 2 ) ( - 2 ) = 4	$+$
$($ 0 , 1 )	x = 0.5	$($ 0.5 ) 3 ( 0.5 + 3 ) ( 0.5 - 1 ) = 0.125 ( 3.5 ) ( - 0.5 ) = - 0.21875	$-$
$($ 1 , ∞ )	x = 2	$($ 2 ) 3 ( 2 + 3 ) ( 2 - 1 ) = ( 8 ) ( 5 ) ( 1 ) = 40	$+$

La gráfica de esta función polinómica es la siguiente. Observa como la gráfica de la función está por debajo del eje x en los intervalos donde obtuvimos el signo negativo y por encima del eje x en los intervalos donde obtuvimos el signo positivo.

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Graficar una función polinómica

Ya tenemos las herramientas para graficar polinomios. Los pasos para hacerlos son los siguientes:

1. Graficar raíces reales. Factorizar si es necesario.
2. Identificar el signo de cada región.
3. Hallar el intercepto en y.
4. Trazar la gráfica pasando por las raíces y el intercepto. El trazo debe ser consistente con los signos y el comportamiento a largo plazo.

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Ejemplo 1:
Graficar la función $f\left(x\right)=$ x 3 + 3 x 2 + 2 x
Solución:

Paso 1: Graficar raíces reales. Factorizar si es necesario. Factorizando la expresión obtenemos: $f$ x = x x+1 x+2 Por lo que: $x$ = 0 o $\left(x\right)$ + 1 = 0 x = - 1 o $\left(x\right)$ + 2 = 0 x = - 2 La raíces de la función $f\left(x\right)$ x 3 + 3 x 2 + 2 x son x=0, x=-1 y x=-2 Las raíces definen los siguientes intervalos donde la función tiene el mismo signo.

Paso 2: Identificar el signo de cada región. Intervalo Punto de Prueba Función evaluada en el punto de prueba Signo del Intervalo $($ - ∞ , -2 ) x = -3 $f\left(-\right)$ 3= - 3 3 + 3 - 3 2 + 2 - 3=-6 $-$ $($ -2 , -1 ) x = -1.5 $f\left(-\right)$ 1.5= - 1.5 3 + 3 - 1.5 2 + 2 - 1.5=0.375 $+$ $($ -1 , 0 ) x = -0.5 $f$ - 0.5 = - 0.5 3 + 3 - 0.5 2 + 2 - 0.5 = - 0.375 $-$ $($ 0 , ∞ ) x = 1 $f$ 1 = 1 3 + 3 1 2 + 2 1 = 6 $+$

Paso 3: $$Hallar el intercepto en y. El intercepto en y es el valor de la función donde x=0, es decir, f(0). $f\left(0\right)=$ 0 3 + 3 0 2 + 2 0 =0

Paso 4: Trazar la gráfica pasando por las raíces y el intercepto. El trazo debe ser consistente con los signos y el comportamiento a largo plazo. Comportamiento a largo plazo. El comportamiento a largo plazo de $f$ x = x 3 + x será igual al de la función $f$ x = x 3 y, por lo tanto, los extremos de la gráfica tendrán el mismo comportamiento.

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Ejemplo 2:
Graficar la función $f$ x = x - 2 3 x + 3 3
Solución:

Paso 1: Graficar raíces reales. Factorizar si es necesario. La expresión ya está factorizada: $f$ x = x - 2 3 x + 3 3 Por lo que: $\left(x\right)$ - 2 = 0 x = 2 o $\left(x\right)$ + 3 = 0 x = - 3 La raíces de la función $f$ x = x - 2 3 x + 3 3 son x=-3 y x=2 Las raíces definen los siguientes intervalos donde la función tiene el mismo signo.

Paso 2: Identificar el signo de cada región. Intervalo Punto de Prueba Función evaluada en el punto de prueba Signo del Intervalo $($ - ∞ , -3 ) x = -4 $f$ - 4 = - 4 - 2 3 - 4 + 3 3 = 216 $+$ $($ -3 , 2 ) x = 0 $f$ 0 = 0 - 2 3 0 + 3 3 = - 216 $-$ $($ 2 , ∞ ) x = 3 $f$ 3 = 3 - 2 3 3 + 3 3 = 216 $+$

Paso 3: $$Hallar el intercepto en y. El intercepto en y es el valor de la función donde x=0, es decir, f(0). $f$ 0 = 0 - 2 3 0 + 3 3 = - 216

Paso 4: Trazar la gráfica pasando por las raíces y el intercepto. El trazo debe ser consistente con los signos y el comportamiento a largo plazo. Comportamiento a largo plazo. El comportamiento a largo plazo de $f$ x = x - 2 3 x + 3 3 será igual al de la función $f$ x = x 6 ya que la función polinómica es de grado 6, por lo tanto, los extremos de la gráfica tendrán el mismo comportamiento.