En matemáticas, la imagen (conocida también como campo de valores o rango) de una función $f \colon X \to Y \,$ es el conjunto formado por todos los valores que puede llegar a tomar la función. Se puede denotar como $\rm{im}(f)\,$ , $\operatorname{Im}_f\,$ o bien $I_f\,$ y formalmente está definida por:

$\operatorname{Im}_f := \left\{y \in Y \; | \; \exists x \in X, \; f(x)=y\right\}$

Adicionalmente, es posible hablar de la imagen de un elemento (del dominio) para hacer referencia al valor que le corresponde bajo la función. Esto es, si $f:A\to B$ es una función, entonces la imagen del elemento $a\in A$ es el elemento $f(a)\in B$ .

1.-

2.-

3.-

4.-

Hallar la imagen de:
f(x) = (2x + 4) / (2x - 3)
Igualammos a 'y' y se despeja 'x' de la expresión:
y = (2x + 4) / (2x - 3)
2xy-3y =2x-4
2xy-2x = 3y-4
2x(y-1) = (3y-4)
x = (3y-4) / 2(y-1)
al contestar la pregunta ¿que valores de y hacen que por exista?
rpta: cualquiera menos aquellos que hacen 0 al denominador
entonces:
Ran (f) = R - {y?R/ y-1=0} = R - {1}

5.-

Hallar la imagen de f(x)=sqrt(x-1)

y=sqrt(x-1)
y^2=x-1
y^2-1=x
Y se tiene que la imagen en R(conjunto de No. reales), pero es falso ya que la imagen es de [0,inf+).

6.-

¿Cuál es el conjunto imagen de y = -1/2x -1/2?

Para encontrar el conjunto imagen de la función y = -1/2x -1/2, realizas una tabla asignándole valores a x reemplazándolos en la función para encontrar los valores de y, dichos valores van a formar el conj, imagen
si x=0, y=-1/2.0-1/2 , y= 0-1/2, y= -1/2 , -1/2 pertenece al conjunto imagen
si x= 1 , y= -1/2.1-1/2 , y= -1/2-1/2 , y= -1/4 , -1/4 pertenece al conjunto imagen
si x= -1 , y= -1/2.(-1) -1/2 , y=1/2-1/2 , y=0 , 0 pertenece al conjunto imagen
si x= 2 , y= -1/2.2-1/2 , y= -1-1/2 , y=-3/2 , -3/2 pertenece al conjunto imagen
si seguís encontrarás infinitos valores que van a formar el conjunto imagen. En este caso llegarás a encontrar que el conjunto imagen va a ser el conjunto de los números reales.
representa la función, por ser una función lineal obtendrás una recta. El conjunto imagen de toda función lineal es el conjunto de los números reales.
el DOMINIO DE UNA FUNCIÓN son TODOS los valores que podés asignarle a x para que tenga imagen, en el caso de una función lineal son todos los reales, porque para todos vas a encontrar una imagen.

7.- Si A = {1, 2, 3} y B = {2, 4, 6} y su correspondencia es el doble.

Entonces f(x) = 2x

En efecto

f(1) = 2 • 1 = 2

f(2) = 2 • 2 = 4

f(3) = 2 • 3 = 6

Tenemos

Dominio = {1, 2, 3}

Codominio = {2, 4, 6}

Ámbito (rango o recorrido) = {2, 4, 6}

8.- Si A = {1, 3, 5} y B = {3, 5, 7, 9, 11} y su correspondencia es el doble más uno.

Entonces f(x) = 2x + 1

En efecto:

f(1) = 2 • 1 + 1 = 3

f(3) = 2 • 3 + 1 = 7

f(5) = 2 • 5 + 1 = 11

Tenemos

Dominio = {1, 3, 5}

Codominio = {3, 5, 7, 9, 11}

Ámbito (rango o recorrido) = {3, 7, 11}

9.-

Analizar el siguiente diagrama que representa una función y determinar el dominio, codominio y el ámbito (rango o recorrido).

Tenemos

Dominio (Df) = {1, 2, 3, 4}

Codominio = {1, 4, 9, 16, 25}

Ámbito (Af) = {1, 4, 9, 16}

10.-

Analizar el siguiente diagrama que representa una función y determinar el dominio, codominio y el ámbito.

Tenemos

Dominio (Df) = {1,2 3, 4}

Codominio = {−1, −2, −3, −4}

Ámbito (Af) = {−1, −2, −3, −4}

Recuerde que los elementos del dominio se llaman preimágenes y los
elementos del ámbito (rango o recorrido) se llaman imágenes.

Debido a que es posible que el codominio y el ámbito estén compuestos por el mismo conjunto de elementos, suele pensarse que codominio y ámbito es lo mismo, el concepto y los ejemplos anteriores nos permiten darnos cuenta que pensar así es un error.

11.- Debemos recordar que el conjunto de partida esta formado por las preimágenes y, se llama dominio, las preimágenes son los valores que toma la variable independiente.

12.-

Un carpintero gasta $350 por cada silla que haga más un monto fijo de $2.000 por día ¿cuánto gastará si hace 2 sillas por día? ¿Cuánto gastará si hace 4, 6 u 8 sillas por día?

Para este ejemplo, x representa cada silla y f(x) el costo de fabricarla, lo cual significa que el costo es igual a multiplicar 350 por cada silla y sumarle el gasto fijo. Es decir:

f(x) = 350x + 2.000

Por lo que el valor de la variable independiente x para la primera pregunta es 2. Para encontrar la respuesta sustituimos el valor de dicha variable en el criterio de la función.

f(2) = 350 • 2 + 2.000

f(2) = 700 + 2.000

f(2) = 2.700

Entonces si hace solamente 2 sillas en un día, gastaría $2.700 en hacerlas.
De esto podemos decir que 2 es la preimagen de 2.700.

Además:

f(4) = 350 • 4 + 2.000 = 3.400

f(6) = 350 • 6 + 2.000 = 4.100

f(8) = 350 • 8 + 2.000 = 4.800

Tenemos, entonces:

fD = {2, 4, 6, 8}

Codominio: {2.700, 3.400, 4.100, 4.800}

13.-

Tenemos f(x)= x² – 6x +7 ¿Cuál es la imagen de 10?

Dado que nos preguntan por la imagen esto significa que 10 es una preimagen por lo que x = 10

f(10) = 10² − 6 • 10 + 7

f(10) = 100 − 60 + 7

f(10) = 47

Cálculo de la preimagen

Para calcular la preimagen de una función, conociendo la imagen y el criterio (el miembro de la derecha de la ecuación), se iguala el criterio de la función con la imagen que se tiene.

Despejando la incógnita de la ecuación que se forma se determina el valor de la variable.

14.-

Si tenemos f(x)= x² – 6 ¿Cuál es la preimagen de – 5 ?

Dado que nos preguntan por la preimagen esto significa que –5 es una imagen por lo que f(x) = –5

−5 = x² – 6

− 5 + 6 = x²

1 = x²

x = ± 1

Las preimágenes de –5 son –1 y 1. Para este caso recordemos que en una función una imagen debe tener al menos una preimagen, aunque puede tener más de una.

15.-

Si tenemos f(x)= 3x + 5 ¿Cuál es la preimagen de 11?

Dado que nos preguntan por la preimagen esto significa que 11 es una imagen por lo que f(x) = 11

11 = 3x + 5

11 − 5 = 3x

6 = 3x

2 = x

La preimagen de 11 es 2.

16.-

x) = 2x

En esta funcion, cada vez que x toma un valor determinado, dicho valor es transformado por 2x. Ejemplo.

x = 2 --> f(x) = 2(2) = 4.

El resultado 4 es la imagen de x=2. Por tanto, el conjunto imagen es el conjunto de las f(x) que corresponden al conjunto de las x.

17.-

Dados dos conjuntos A y B, se entiende por correspondencia entre ambos al subconjunto de su producto cartesiano.

Si: A = {a, b, c} B = {1, 2}

y elegimos un subconjunto C de su producto cartesiano:

C = {(a, 1), (a, 2), (b, 2)}

hemos definido una correspondencia entre dichos conjuntos, en la cual se llama elemento homólogo, o imagen de un elemento a del primer conjunto, a todo elemento b del segundo conjunto, tal que el par (a, b) sea un elemento de dicha correspondencia. En la correspondencia definida anteriormente, el elemento a tiene por homólogos los elementos 1 y 2, el elemento b tiene por homólogo el elemento 2, el elemento c no tiene homólogo (o imagen) en esta correspondencia.

Esto se representa de la forma siguiente:

f = {1, 2} y f (b) = {2},

siendo f (a) el conjunto imagen de a.

18.-

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19.-

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20.-

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