Matemáticas IV: abril 2013

domingo, 28 de abril de 2013

Comportamiento de la gráfica de una función polinomial en una función polinomial de grados: tres y cuatro.

Gráficas de Polinomios de la forma x ⁿ

Comportamiento a largo plazo de una función polinómica

Considerar la siguiente tabla que contiene los valde

f

x = x 2 y

g

x = x 2 + 4 x + 5

x	-1000	-100	-10	-1	0	1	10	1000	1000
f(x)	1000000	10000	100	1	0	1	100	10000	1000000
g(x)	996005	9605	65	2	5	10	145	10405	1004005

Considerar la siguiente tabla que contiene los valores de

f

x = 2 x 3 y

g

x = 2 x 3 - 2 x 2 + 3 x + 6

x	-1000	-100	-10	-1	0	1	10	1000	1000
f(x)	-2.000×10⁹	-2.000×10⁶	-2000	-2	0	2	2000	2.000×10⁶	2.000×10⁹
g(x)	-2.002×10⁹	-2.020×10⁶	-2224	-1	6	9	1836	1.980×10⁶	1.998×10⁹

Nota como se comparan los valores de ambas funciones para distintos valores de x.
Conclusión: Cuando la magnitud de x es grande los valores de g(x)=axⁿ +... se parecen a los valores de f(x)=axⁿ.
La aplicacion de abajo, muestra las gráficas de g(x)=axⁿ y f(x)=axⁿ + ...
Cambia el zoom para verificar que las gráficas se ven iguales cuando los valores de x cubren un rango amplio. También puedes presionar el boton de la parte superior derecha para conseguir otra función f:

Recuerda que r es una raíz simple de f(x), si el factor (x-r) aparece una sola vez en la fórmula factorizada de f(x).
En la aplicación de arriba debemos poder observar que la gráfica cerca a una raiz simple se ve como:

Recuerda que r es una raíz doble de f(x), si el factor (x-r) aparece exactamente dos veces en la fórmula factorizada de f(x).
En la aplicación de arriba debemos poder observar que la gráfica cerca a una raiz doble se ve como:

Recuerda que r es una raíz triple de f(x), si el factor (x-r) aparece exactamente tres veces en la fórmula factorizada de f(x).
En la aplicación de arriba debemos poder observar que la gráfica cerca a una raiz triple se ve como:

En general, el comportamiento de la gráfica de una función racional cerca de una raíz está condicionado por la multiplicidad de dicha raíz.

Si una función polinomial tiene una raíz r de multiplicidad k, entonces:
La gráfica de la función cruza el eje x si k es impar.
La gráfica de la función toca el eje x pero no lo cruza, si k es par.

Ejemplo:
Las raíces de la función polinomial

f

x = x3 x + 3 2 x + 2 x - 3 4 son:
x=-3 (multiplicidad 2), x=-2 (multiplicidad 1), x=0 (multiplicidad 3) y x=3 (multiplicidad 4).
La gráfica de esta función es la siguiente:

Haga clic en el siguiente enlace para practicar los conceptos gráficos relacionados a las raíces de un polinomio:

Cambio de signos de una función polinómica

Una función polinómica es continua, por lo tanto, su gráfica no se corta en ningún punto. Por esta razón las funciones polinómicas solo cambian de signo en sus raíces. Gráficamente esto significa que, entre dos raíces consecutivas, la gráfica esta completamente por encima del eje x o completamente por debajo del ejex. En la lección de Inecuaciones Polinómicas y Racionales utilizamos este hecho para evaluar el signo de un polinomio en un intervalo de prueba.
Ejemplo:
Considera la función polinómica:

f

x = x 5 + 2 x 4 - 3 x 3 .
Factorizamos para obtener sus raíces:

x

5 + 2 x 4 - 3 x 2 = x 3 ( x 2 + 2 x - 3 ) = x 3 ( x + 3 ) ( x - 1 )

De donde obtenemos las raíces de f(x) y son:

x

3 = 0 x = 0

x

+ 3 = 0 x = - 3

x

- 1 = 0 x = 1

Las raíces determinan los intervalos en los que la función tiene el mismo signo. Por lo tanto, vamos a evaluar el signo de los intervalos determinados por las raíces:

Intervalo	Punto de Prueba	Función evaluada en el punto de prueba	Signo del Intervalo
$($ - ∞ , - 3)	x = -4	$($ - 4 ) 3 ( - 4 + 3 ) ( - 4 - 1 ) = ( - 64 ) ( - 1 ) ( - 5 ) = - 320	$-$
$($ - 3 , 0 )	x = -1	$($ - 1 ) 3 ( - 1 + 3 ) ( - 1 - 1 ) = ( - 1 ) ( 2 ) ( - 2 ) = 4	$+$
$($ 0 , 1 )	x = 0.5	$($ 0.5 ) 3 ( 0.5 + 3 ) ( 0.5 - 1 ) = 0.125 ( 3.5 ) ( - 0.5 ) = - 0.21875	$-$
$($ 1 , ∞ )	x = 2	$($ 2 ) 3 ( 2 + 3 ) ( 2 - 1 ) = ( 8 ) ( 5 ) ( 1 ) = 40	$+$

La gráfica de esta función polinómica es la siguiente. Observa como la gráfica de la función está por debajo del eje x en los intervalos donde obtuvimos el signo negativo y por encima del eje x en los intervalos donde obtuvimos el signo positivo.

Graficar una función polinómica

Ya tenemos las herramientas para graficar polinomios. Los pasos para hacerlos son los siguientes:

Graficar raíces reales. Factorizar si es necesario.
Identificar el signo de cada región.
Hallar el intercepto en y.
Trazar la gráfica pasando por las raíces y el intercepto. El trazo debe ser consistente con los signos y el comportamiento a largo plazo.

Ejemplo 1:
Graficar la función

f (x) =

x 3 + 3 x 2 + 2 x
Solución:

Paso 1: Graficar raíces reales. Factorizar si es necesario.
Factorizando la expresión obtenemos:

f

x = x x+1 x+2

Por lo que:

x

= 0

(x)

+ 1 = 0 x = - 1

(x)

+ 2 = 0 x = - 2

La raíces de la función

f (x)

x 3 + 3 x 2 + 2 x son x=0, x=-1 y x=-2
Las raíces definen los siguientes intervalos donde la función tiene el mismo signo.

Paso 2: Identificar el signo de cada región.

Intervalo	Punto de Prueba	Función evaluada en el punto de prueba	Signo del Intervalo
$($ - ∞ , -2 )	x = -3	$f (-)$ 3= - 3 3 + 3 - 3 2 + 2 - 3=-6	$-$
$($ -2 , -1 )	x = -1.5	$f (-)$ 1.5= - 1.5 3 + 3 - 1.5 2 + 2 - 1.5=0.375	$+$
$($ -1 , 0 )	x = -0.5	$f$ - 0.5 = - 0.5 3 + 3 - 0.5 2 + 2 - 0.5 = - 0.375	$-$
$($ 0 , ∞ )	x = 1	$f$ 1 = 1 3 + 3 1 2 + 2 1 = 6	$+$

Paso 3:

Hallar el intercepto en y.
El intercepto en y es el valor de la función donde x=0, es decir, f(0).

f (0) =

0 3 + 3 0 2 + 2 0 =0

Paso 4: Trazar la gráfica pasando por las raíces y el intercepto. El trazo debe ser consistente con los signos y el comportamiento a largo plazo.

Comportamiento a largo plazo.
El comportamiento a largo plazo de

f

x = x 3 + x será igual al de la función

f

x = x 3 y, por lo tanto, los extremos de la gráfica tendrán el mismo comportamiento.

Ejemplo 2:
Graficar la función

f

x = x - 2 3 x + 3 3
Solución:

Paso 1: Graficar raíces reales. Factorizar si es necesario.
La expresión ya está factorizada:

f

x = x - 2 3 x + 3 3

Por lo que:

(x)

- 2 = 0 x = 2

(x)

+ 3 = 0 x = - 3

La raíces de la función

f

x = x - 2 3 x + 3 3 son x=-3 y x=2
Las raíces definen los siguientes intervalos donde la función tiene el mismo signo.

Paso 2: Identificar el signo de cada región.

Intervalo	Punto de Prueba	Función evaluada en el punto de prueba	Signo del Intervalo
$($ - ∞ , -3 )	x = -4	$f$ - 4 = - 4 - 2 3 - 4 + 3 3 = 216	$+$
$($ -3 , 2 )	x = 0	$f$ 0 = 0 - 2 3 0 + 3 3 = - 216	$-$
$($ 2 , ∞ )	x = 3	$f$ 3 = 3 - 2 3 3 + 3 3 = 216	$+$

Paso 3:

Hallar el intercepto en y.
El intercepto en y es el valor de la función donde x=0, es decir, f(0).

f

0 = 0 - 2 3 0 + 3 3 = - 216

Paso 4: Trazar la gráfica pasando por las raíces y el intercepto. El trazo debe ser consistente con los signos y el comportamiento a largo plazo.

Comportamiento a largo plazo.
El comportamiento a largo plazo de

f

x = x - 2 3 x + 3 3 será igual al de la función

f

x = x 6 ya que la función polinómica es de grado 6, por lo tanto, los extremos de la gráfica tendrán el mismo comportamiento.

Representación gráfica de funciones polinomiales de grados: tres y cuatro.

En está entrada representaré las funciones polinomiales de tercer y cuarto grado en gráficas.

Tercer grado.

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.- http://www.youtube.com/watch?v=tgLj1DWr5aA

Funciones de cuarto grado.

11.-

12.-

13.-

14.-

15.-

16.-

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18.-

19.-

20.-

Métodos de solución de las ecuaciones factorizables asociadas a una función polinomial de grados: tres y cuatro.

Teorema de los ceros racionales

Es un método algo largo, y también algo difícil de explicar aquí, pero intentare explicarlo

para este metodo pondre de ejemplo la siguiente ecuacion:

x^4+x³+3x²+6=10-2x³+3x

lo primero que se hace, es igualar la ecuacion a 0, asi que pasamos todo al lado izquierdo:

x^4+3x³+3x²-3x-4=0

despues de esto, localizamos el termino lineal, que es el que no tiene incognita y lo llamamos c
tambien localizamos el termino de grado mayor, y lo llamamos d
en este caso c es 4 y d es 1

ahora, se buscan los divisores de cada numero:

los divisores de c: +/-1,+/-2,+/-4
los divisores de d: +/-1

y despues, dividimos cada numero que obtuvimos en c, entre cada numero que obtuvimos en d:
c/d= +/-1, +/-2, +/-4

ahora, segun el teorema de los ceros racionales, uno de los numeros que obtuvimos en esa division, es una de las 4 respuestas de la ecuacion

el siguiente paso es sustituir cada uno de estos numeros en la ecuacion igualada a 0, se sustituyen hasta que encontremos un numero que cumpla con la igualdad

empecemos con el +1

1^4+3(1³)+3(1²)-3(1)-4=0
1+3(1)+3(1)-3-4=0
1+3+3-3-4=0
0=0

como se puede ver, llegamos a 0=0, lo que significa que la igualdad se cumple, por lo que +1, es una de las cuatro raices de la ecuacion

nos faltan otras 3 raices, por lo que podriamos tratar con los demas numeros que resultaron de c/d
pero es mas sencillo degradar la ecuacion

esto se hace mediante una division sintetica:

x^4+3x³+3x²-3x-4 / 1

1..... 3..... 3..... -3..... -4...|__1__

____1___4____7____4____
1..... 4..... 7..... 4....... 0

al hacer esto obtenemos una nueva ecuacion, pero esta vez de tercer grado:

x³+4x²+7x+4=0

y se vuelve a hacer lo mismo que hicimos al principio, se saca c/d, y cada numero obtenido de ahi se sustituye en la ecuacion para encontrar uno que cumpla con la igualdad

c/d= +/-1, +/-2, +/-4

probamos con +1
1³+4(1²)+7(1)+4=0
1+4+7+4=0
16=0

y no se cumple la igualdad, asi que seguimos con el -1

(-1)³+4(-1)²+7(-1)+4=0
-1+4(1)-7+4=0
-1+4-7+4=0
0=0

y se obtiene la igualdad, por lo que -1 es otra de las raices e la ecuacion

y volvemos a hacer la division sintetica:

x³+4x²+7x+4 / -1

1...... 4...... 7..... 4.....|__-1__

____-1___-3__-4__
1...... 3...... 4..... 0

y con esto llegamos a una ecuacion cuadratica:

x²+3x+4=0

la cual ya se puede resolver sin problemas

con esto obtenemos que las 4 respuestas a la ecuacion original son 1, -1, y los 2 valores que obtengamos de la ecuacion cuadratica

El número se toma independiente del signo, asi que si, lo que se toma es el valor absoluto del numero.

El caso general

Una ecuación de tercer grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:

# ax³ + bx² + cx + d = 0,

donde a, b,c y d (a ≠ 0 ) son nümeros que pertenecen a un cuerpo, usualmente a R o a ℂ. Sea K un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer raíces cuadradas y cübicas. En este cuerpo, es posible factorizar por todo a ≠ 0, y la identidad siguiente es válida:

# (a - b)3 = a3 - 3a2b +3ab2 - b3

Basta con encontrar una solución, digamos r, pues al factorizar ax3 + bx2 + cx + d por x - r, obtenemos una ecuación de segundo grado que sabemos resolver, lo que dará las demás raíces. En un cuerpo algebráicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 3 tiene tres raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, segün el Teorema Fundamental del Álgebra.

Los pasos de la resolución son:

* Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a (a ≠ 0 ). Se obtiene:

# x3 + b'x2 + c'x + d' = 0 con b' = b/a, c' = c/a, d' = d/a.

* Proceder al cambio de incógnita z = x + b'/3, para suprimir el término cuadrado. En efecto, al desarollar (z - b'/3)3 con la identidad precedente, vemos aparecer el término -b'z2, compensado exactamente por b'z2 que aparece en b'(z - b'/3)2. Se obtiene:

# z3 + pz + q = 0, con p y q nümeros del cuerpo.

* y ahora, la astucia genial: escribir z = u + v.

La ecuación precedente da (u + v)3 + p(u+v) + q = 0.

# Desarollando: u3 + 3u2v + 3uv2 + v3 + pu + pv + q = 0.
# Reagrupando: (u3 + v3 + q) + (3uv2 + v3 + pu + pv) = 0.
# Factorizando: (u3 + v3 + q) + (u + v)(3uv + p) = 0.

Comó se ha introducido una variable adicional (u y v en vez de z) , es posible imponerse una condicion adicional. Concretamente:

# 3uv + p = 0, que implica u3 + v3 + q = 0 .

* Pongamos U = u3 y V = v3. Entonces tenemos U + V = - q y UV = - p3/27 porque UV = (uv)3 = (-p/3)3.

Por lo tanto U y V son las raíces de la ecuación auxiliar (E) X2 + qX - p3/27 = 0, que se sabe resolver.

Luego u y v son raíces cübicas de U y V (que verifican uv = -p/3), z = u + v y finalmente x = z - b'/3. En el cuerpo C, si u0 y v0 son estas raíces cübicas, entonces las otras son ju0 y j2u0, y por supuesto jv0 y j2v0, con j = e2iπ/3, una raíz cubica de la unidad.

Como el producto uv está fijado ( uv = -p/3) las parejas (u, v) posibles son ( u0, v0), ( ju0 , j2v0) y (j2u0, jv0).

Las otras raíces de la ecuación de tercer grado son por lo tanto ju0 + j2v0 - b'/3 y j2u0 + jv0 - b'/3.

II El caso real

Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es algebráicamente cerrado, por lo tanto, el nümero de raíces reales no es siempre 3. Las que faltan se encuentran en C, extensión agebráica cerrada de R. La distinción aparece cuando se sacan las raíces cuadradas en el cálculo de U y V. Las raíces cübicas no plantean problemas.

Se demuestra que el nümero de raíces reales depende del discriminante (multiplicado por 27) de la ecuación auxiliar Δ = 4p3 + 27q2:

* Si Δ > 0 existe una ünica raíz real. Las demás son complejas conjugadas.
* Si Δ = 0 existe una raíz multiple real: una raíz triple o una doble y otra simple, todas reales.
* Si Δ < 0 existen tres raíces reales.

Habrán notado que siempre hay por lo menos una solución real. Es debido a que las funciones polinomiales no constantes tienen límites infinitos en + ∞ y - ∞ y las de grado impar tienen límites de signos contrarios. Como son funciones contínuas, tienen que pasar por cero, por el teorema de los valores intermedios. En la figura siguiente se registra todos los casos, segün los signos de a y de Δ.

imagen:tercer_grado_curvas.png

III Primer ejemplo

Sea 2t3 + 6t2 + 12t + 10 = 0 Sigamos los pasos descritos en el primer párrafo.

* t3 + 3t2 + 6t + 5 = 0 (al dividir por 2)
* con x = t + 1, es decir t = x - 1 reemplazando: (x - 1)3 + 3(x - 1)2 + 6(x - 1) + 5 = 0

desarollando: x3 + 3x + 1 = 0

* x = u + v, U = u3, V = v3 y nos imponemos U + V = - 1 y UV = - 1.

U y V son las raíces de X2 + X - 1 = 0.

imagen:tercer_grado_ejemplo_1.png

IV segundo ejemplo

Este ejemplo es histórico porque fue el que tomo Bombelli quien fue, con Cardano, el primero en resolver ecuaciones del tercer y cuarto grado por el método ya expuesto (en la Italia del renacimiento, en pleno siglo XVI).

La ecuación es x3 - 15x - 4 = 0.

Estudiando la función x → x3 - 15x - 4 o calculando el discriminante Δ = -13068 < 0, nos damos cuenta que esta ecuación tiene tres raíces ( vean el cuadro 3 de la figura). Por lo tanto debería ser más facil que en el primer ejemplo encontrar una.

Los dos primeros pasos son inütiles. Pasamos al tercero: x = u + v , U = u3, V = v3.

# U + V = 4 y UV = 125

U y V son las raíces de X2 - 4X + 125 = 0, ecuación cuyo determinante ya hemos calculado.

En este enlace entontrarás para resolver funciones de tercer grado. Siempre son mejores los videos que
las explicaciones escritas.
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=Y1NoRAsb0Js

Cuarto grado.

Los m´etodos de resoluci´on por radicales de las ecuaciones polin´omicas de tercer y
cuarto grado son unas de esas antiguallas absolutamente inutiles ´ que est´a feo que un
matem´atico no conozca. Como es bien sabido,si K es un cuerpo de caracter´ıstica distinta
de 2 y a, b, c ∈ K, con a 6= 0, las soluciones de la ecuaci´on cuadr´atica.....
He encontrado este maravilloso libro o reseña que les infoma muy claramente, por favor
chécalo te ayudará demasiado.

Tenga en cuenta que puede haber otros métodos aparte de estas enormes fórmulas para resolver cúbicas o cuárticas. Pero quería mostrar aquí que las fórmulas realmente existen.

La forma general de la ecuación de cuarto grado (o cuártica) es: ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0

Las ecuaciones de cuarto grado tienen 4 soluciones (o raíces).

En su forma más general, estas 4 soluciones se pueden representar así:

Primera solución:

Segunda solución:

Tercera solución:

Cuarta solución:

http://www.uv.es/ivorra/Libros/Ecuaciones.pdf

Método de descartes:
http://www.slideshare.net/lejopira/mtodo-de-descartes-para-la-resolucin-aproximada-de-ecuaciones-de-cuarto-grado
Método de ferrari:
http://www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/Algebra/Ecuaciones/Ecuac4.htm

http://www.youtube.com/watch?v=Ph_AGw6MvFg

Propiedades geométricas de las funciones polinomiales de grados: tres y cuatro.

Funciones polinomiales de grados 3 y 4

Son las de la forma y = ax³ + bx² + cx + d , siendo a , b , c y d números reales.
Todas estas funciones tienen dominio y recorrido R y son continuas. Respecto de los puntos de corte con los ejes podemos decir que la gráfica puede cortar al eje de abscisas en 1, 2 ó 3 puntos y al eje de ordenadas siempre en el punto (0,d)
Las gráficas de estas funciones cúbicas son de cuatro tipos exclusivamente, que distinguiremos por los extremos y los puntos de inflexión :
- Sin extremos, el punto de inflexión separa la región cóncava de la convexa o la convexa de la cóncava. Aparecerán ejemplos en los casos 1, 2 y 4
- Con dos extremos, un máximo y un mínimo, el punto de inflexión separa la región convexa de la cóncava o un mínimo y un máximo, separando el punto de inflexión la región cóncava de la convexa. Veremos ejemplos en los casos 3 y 4

Te invito a que cheques estos videos:

http://www.youtube.com/watch?v=P8j_XQiVg8M

http://www.youtube.com/watch?v=0kMg5V-uYjQ

Función polinomial de tercer grado
La función polinomial de tercer grado es toda aquella función que se puede escribir de la forma:
y = a3x
3 + a2x
2 + a1x + a0
donde a3 6= 0.
La función polinomial de tercer grado también se conoce como función cúbica

Una función cúbica es una función polinómica de grado 3. Las funciones cúbicas tienen expresiones del tipo:

Estamos interesados en estudiar la derivada de funciones simples con un punto de vista intuitivo y visual. Para estudiar la derivada de una función cúbica vamos a seguir la misma aproximación que hemos usado para el caso de las funciones cuadráticas.

http://www.youtube.com/watch?v=X7Z2TmEz7TY

}

Una función de tercer grado tendrá tres raíces, y la de cuarto grado tendrá

cuatro raíces, en la actualidad es mucho más fácil en aplicaciones que

puedes descargar en tu celular, o tener en la computadora, tablet y otros

dispositivos encontrar la representación gráfica de las funciones, con sus

máximos y mínimos, con sus raíces y todo. Pero siempre es bueno también

hacer lo por ti mismo, es sólo como una ayuda. <3

Modelo matemático de las funciones polinomiales de grado: tres y cuatro.

Funciones polinomiales de tercer grado.

Una ecuación de tercer grado o ecuación cúbica con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:

$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \,$ ,

donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un campo, usualmente el campo de los números reales o el de los números complejos.

La función cúbica es una función polinómica de tercer grado. Tiene la forma:

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \,$

donde el coeficiente a es distinto de 0.

Tanto el dominio de definición como el conjunto imagen de estas funciones pertenecen a los números reales.

La derivada de una función cúbica genera una función cuadrática y su integral una función cuártica.
Ecuación cúbica

La ecuación cúbica es la ecuación que resulta de igualar a cero la función cúbica, y tiene la forma canónica:

$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \qquad (1)$

donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un campo, usualmente el campo de los números reales o el de los números complejos.

Discriminante

Resulta importante y a la vez esencial obtener propiedades elementales de los polinomios como herramientas de análisis en los resultados según los valores de sus coeficientes. Cualquier ecuación cúbica (1) con coeficientes reales tiene al menos una solución x sobre los números reales; esta es una consecuencia del teorema del valor intermedio. Se pueden distinguir varios posibles casos, usando para ello el discriminante,

$\Delta = 18abcd -4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2. \,$

Los siguientes casos necesitan ser considerados: ¹

Si Δ > 0, entonces la ecuación tiene tres distintas raíces reales.
Si Δ = 0, entonces la ecuación tiene múltiples raíces y todas sus raíces son reales (puede ser una raíz triple o una doble y otra simple).
Si Δ < 0, Entonces la ecuación tiene una raíz real y dos raíces complejas conjugadas.

Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es algebraicamente cerrado, por lo tanto, el número de raíces reales no es siempre 3. Las que faltan se encuentran en C, extensión algebraica cerrada de R. La distinción aparece cuando se calcula el discriminante de la ecuación. Se puede notar que siempre hay por lo menos una solución real, independientemente de que el discriminante Δ sea mayor, menor o igual a cero. Es debido a que las funciones polinomiales no constantes tienen límites infinitos en +∞ y -∞ y las de grado impar tienen límites de signos contrarios. Como son funciones continuas, tienen que pasar por cero, por el teorema de los valores intermedios.

También es posible resolverla con el método de Newton-Raphson, ya que se sabe que al menos habrá una solución real.

Raíces reales de la ecuación cúbica

Partiendo de la ecuación canónica

$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$

dividiendo entre a y haciendo una transformación de Tschirnhaus (sustituyendo $x = z-\tfrac{b}{3a}$ ) se elimina de la forma normal el término cuadrático y se obtiene la forma reducida:

$z^3 +pz + q=0,$

con lo cual,

$\begin{align} p=&\frac{3ac-b^2}{3a^2}\\ q=&\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}. \end{align}$

Se demuestra que el número de raíces reales depende del discriminante de la ecuación auxiliar $\Delta = (-4p^3 - 27q^2)\,$ .² La ecuación cúbica incompleta $z^3+pz+q=0 \,$ posee tres raíces reales cuando el discriminante $\Delta>0 \,$ , pero donde $p<0 \,$ y $q \,$ posee cualquier valor y signo. Tales raíces se calculan como

$z_{k+1}=\pm2 \sqrt{\frac{-p}{3}}\cos\left(\frac{\Phi}{3}+120k\right)$ , para $k = 0, 1, 2 \,$

donde el signo positivo se usa si $q\leq0 \,$ y el signo negativo se usa si $q>0 \,$ . Mientras que $\Phi \,$ esta dada por

$\Phi=\arccos{\sqrt{\frac{q^2/4}{-p^3/27}}}$

De modo que si queremos calcular las tres raíces de la ecuación cúbica completa $ax^3+bx^2+cx+d=0 \,$ , entonces podemos obtenerlas fácilmente como

$x_{k}=z_{k}-\frac{b}{3a}$ , para $k = 0, 1, 2 \,$

Ejemplo.

Sea la ecuación cúbica $2t^3 + 6t^2 + 12t + 10 = 0 \,$ , Se procederá a resolverla, para ello, se siguen los siguientes pasos.

$t^3 + 3t^2 + 6t + 5 = 0 \,$ (al dividir por 2)
Con x = t + 1, es decir t = x - 1, reemplazando:

$(x - 1)^3 + 3(x - 1)^2 + 6(x - 1) + 5 = 0 \,$ , y desarrollando, se optiene la ecuación en forma reducida $x^3 + 3x + 1 = 0 \,$ .

x = u + v, U = u³, V = v³ y se impone U + V = - 1 y UV = - 1. U y V son las raíces de X² + X - 1 = 0.
Se despeja U, V y t.

$U = \frac {-1 - \sqrt {5}} {2} \,$ y $V = \frac {-1 + \sqrt {5}} {2} \,$ , luego $u = \sqrt[3]{\frac {-1 - \sqrt {5}} {2}} \,$ y $v = \sqrt[3]{\frac {-1 + \sqrt {5}} {2}} \,$ .

Por lo tanto

$t = x - 1 = u + v - 1 = \sqrt[3]{\frac {-1 - \sqrt {5}} {2}} + \sqrt[3]{\frac {-1 + \sqrt {5}} {2}} - 1 \approx -1,3221853546$

Funciones polinomiales de grado cuatro.

Una ecuación de cuarto grado o ecuación cuártica con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:

$ax^4 + bx^3 + {cx^2}^{} + dx + e = 0$

donde a, b, c, d y e (siendo $a \ne 0$ ) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a los reales $\mathbb{R}$ o los complejos $\mathbb{C}$ .

Caso general

Sea K un cuerpo, donde se pueden extraer raíces cuadradas y cúbicas (y por lo tanto también de cuarto orden, pues equivale a extraer raíces cuadradas dos veces seguidas). En este cuerpo, es posible factorizar por todo a, y la identidad siguiente es válida:

$(a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4 \,$ .

En un cuerpo algebraicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 4 tiene cuatro raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.

El método siguiente permite obtener las cuatro raíces al mismo tiempo. Este método es llamado "método de Descartes", pues fue dado por el matemático francés René Descartes (1596-1650) en el año de 1637 en su célebre libro "La Geometría". Aunque existan diferentes métodos para resolver las ecuaciones cuárticas, algunos son: método de Ferrari, método de Descartes, método de Euler, método de Lagrange, método de Alcalá, etcétera.
Método de Descarte

Los pasos de la resolución para el método de Descartes (1637) son:

Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a. Se obtiene:

$x^4 + b'x^3 + c'x^2 + d'x + e' = 0 \,$ , donde $b' = \frac {b} {a} \,$ , $c' = \frac {c} {a} \,$ , $d' = \frac {d} {a} \,$ y $e' = \frac {e} {a} \,$

Proceder al cambio de incógnita $z = x + \frac {b'} {4} \,$ , para suprimir el término cúbico. En efecto, al desarrollar $(z - \frac {b'} {4})^4$ con la identidad precedente, vemos aparecer el término $-b'z^3 \,$ , compensado exactamente por $b'z^3 \,$ que aparece en $b'(z - \frac {b'} {4})^3 \,$ . Tras sustituir x y operando con las identidades notables, se obtiene:

$z^4 + pz^2 + qz + r = 0 \,$ , con p, q y r números del cuerpo.

Y ahora, la idea genial: factorizar lo anterior en $(z^2 + \alpha z + \beta )( z^2 - \alpha z + \gamma) \,$ , lo que es posible porque no hay z³ en el polinomio.

Desarrollando la expresión e identificando los dos polinomios, obtenemos las condiciones:

$\beta + \gamma - \alpha^2 = p \,$ (coeficiente de x²)

$\alpha(\gamma - \beta) = q \,$ (coeficiente en x)

$\beta \gamma = r \,$ (término constante)

Después de algunos cálculos, hallamos : $\alpha^6 + 2p\alpha^4 + (p^2 - 4r)\alpha^2 - q^2 = 0 \,$ Es una ecuación de sexto grado, pero si miramos bien, α sólo aparece con potencias pares.

Pongamos $A = \alpha^2$ . Entonces:

$A^3 + 2pA^2 + (p - 4r)A - q^2 = 0 \,$ , que resulta ser una ecuación de tercer grado en la variable $A\,$ y que se puede resolver usando el método de Cardano.

Luego se encuentra α, β y γ, y se resuelven $z^2 + \alpha z + \beta = 0 \,$ y $z^2 - \alpha z + \gamma = 0 \,$ , y para terminar, no olvide que $x = z - \frac {b'} {4}$ .Ecuaciones bicuadrada

Éstas son un caso particular de las anteriores. Les faltan los términos a la tercera y a la primera potencia. Su forma polinómica es:

$ax^4 + {bx^2}^{} + c = 0$

Para resolver estas ecuaciones tan solo hay que hacer el cambio de variable ${x^2}^{}=u$
Con lo que nos queda: ${au^2}^{} + bu + c = 0$ El resultado resulta ser una ecuación de segundo grado que podemos resolver usando la fórmula:

$u= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Ahora bien, esto no nos da las cuatro soluciones esperadas. Aún hemos de deshacer el cambio de variable. Así las cuatro soluciones serán:

$x_1 = +\sqrt{u_1}$

$x_2 = -\sqrt{u_1}$

$x_3 = +\sqrt{u_2}$

$x_4 = -\sqrt{u_2}$

Otro caso particular: Ecuaciones casi-simétricas

El siguiente tipo de ecuación

$x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+m^2=0 \,$ , donde $m = \frac {a_3} {a_1} \,$ , puede ser resuelto así:

Al dividir la ecuación por $x^2$ , se obtiene

$x^2 + \frac {m^2} {x^2} + a_1x + \frac {a_3} {x} + a_2 = 0$

$(x^2 + \frac {m^2} {x^2}) + a_1(x + \frac {m} {x}) + a_2 = 0$

Haciendo cambio de variable:

$z=x + \frac {m} {x} \,$

llegamos a

$z^2 - 2m = x^2 + \frac {m^2} {x^2} \,$

Así

$(z^2 - 2m) + a_1z + a_2 = 0 \,$

Esta ecuación da 2 raíces, $z_1$ y $z_2$

Las raíces de la ecuación original pueden ser obtenidas resolviendo las siguientes ecuaciones de 2o grado:

$x^2 -z_1x + m = 0 \,$

$x^2 - z_2x + m = 0 \,$

Si $a_0$ no es 1 en $a_0x^4 + a_1x^3 + a_2x^2 + a_3x + a_0m^2 = 0 \,$

este método es de todas formas aplicable, luego de dividir la ecuación entre $a_0$ .

Las ecuaciones cuasi simétricas poseen la siguiente propiedad, que, por otra parte, las define: si $x_1$ , $x_2$ , y $x_3$ , $x_4$ son las raíces de la ecuación, entonces $x_1 x_2 = m$ . Dado que el producto de las 4 raíces es $m^2$ , entonces $x_3 x_4 = m$ necesariamente.