Modelo general de las funciones Polinomiales.

Las funciones polinomiales están entre las expresiones mas sencillas del álgebra. Es fácil evaluarlas, solo requieren sumas multiplicaciones repetidas. Debido a esto, con frecuencia se usan para aproximar otras funciones mas complicadas. Una función polinomial es una función cuya regla esta dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial es el grado del polinomio en una variable, es decir, la potencia mas alta que aparece de x.

Definición Si una función f está definida por 
f(x) = anXn + an1 − 1Xn − 1 + an − 2Xn − 2 + ... + a1 + a0 donde a0,a1,...,an son números reales 
y n es un entero no negativo. 
Entonces, f se llama una Función Polinomial de grado n. 

Ejemplosf(x) = 3x⁵ − x² + 7x − 1 es una función polinomial de grado 5.

Aquí les dijo un video para que quede muy claro lo que es: 
  
  Clic on me. :D

Función Lineal

Una función lineal es una función polinomial de grado 1.

f(x) = ax + b

Función Cuadratica

Si el grado de una función polinomial es 2, se llama Función Cuadrática.

f(x) = ax² + bx + c

Función Racional

Una función que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales

Q(x) = f(x) / g(x)

se llama función racional.

Función Algebraica

Una función algebraica es aquella que está formada por un número finito de operaciones algebraicas sobre la función identidad y la función constante.

Funciones Trascendentes

Las funciones trascendentes son las trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

Teorema del valor intermedio

Si f es una función polinomial y  para a<b, entonces f toma todo valor entre f(a) y f(b) en el intervalor [a,b].

Ejemplo #2

Demuestre que f(x) = x⁵ + 2x⁴ − 6x³ + 2x − 3 tiene un cero entre 1 y 2.

Al sustituir x con 1 y 2 se obtienen estos valores de la función:

f(1) = 1 + 2 − 6 + 2 − 3 = − 4 f(2) = 32 + 32 − 48 + 4 − 3 = 17<center>

Dado que f(1) y f(2) tienen signos contrarios vemos que f(c)=0 para almenos un número real c entre 1 y 2.

Ejemplo #3

Sea f(x)=x3+x2−4x−4. Halle todos los valores de x tales que f(x) sea positivo, y todos los x tales que f(x) sea negativo y traze la grafica de f.

Factorizemos primero f(x) de la siguiente manera:

f(x)=x3+x2−4x−4=(x3+x2)+(−4x−4)=x2(x+1)−4(x+1)=(x2−4)(x+1)=(x−2)(x+2)(x+1)dadoagrupartérminosfactorizarx2y−4factorizar(x+1)diferenciadecuadrados

De aqui podemos ver que los cero de f(x) (intersecciones con el eje x) son -2, -1 y 2. Notar que al sustituir estos valores en la función la función se hace cero. Los puntos correspondientes de la gráfica dividen el eje x en cuatro partes y consideramos los intervalos abiertos

(−∞,−2),(−2,−1),(−1,2),(2,∞)

Ahoda analizamos el signo de la función en cada uno de estos intervalor, mediante la siguiente tabla.

<center>

Intervalo	(∞,−2)	(−2,−1)	(−1,2)	(2,∞)
Signo de x+2	−	+	+	+
Signo de x+1	−	−	+	+
Signo de x−2	−	−	−	+
Signo de f(x)	−	+	−	+
Posición en la Grafica	Abajo del eje x	Arriba del eje x	Abajo del eje x	Arriba del eje x

Grafica

Ejemplo

1. Para la función 
(a) Determine el dominio de la función
(b) Las intercepciones con los ejes

(a)  el dominio de las funciones polinomiales son todos los números reales.
(b) Intercepciones con los ejes:
Si 
y=6
La curva intercepta al eje y en el punto (0, 6)
Si 

Por división sintética:
Los factores de 6 son: 
Por lo tanto, f tiene un factor de la forma .

El factor , puede descomponerse en:

Finalmente:

Si 






Los valores de x son:






La curva corta al eje x en los puntos: 

Por lo tanto ahora ya podemos tener una idea mas clara de como es la grafica de dicha funcion.

Ceros De Polinomios

Si P es un polinomio y c es un numero tal que P(c), entonces decimos que c es un cero de P. A continuacion se presentan formas equivalentes de decir lo mismo:

1. c es un cero de P 2. x = c es una raiz de la ecuacion P(x)=0 3. x-c es un factor de P(x) 4. x=c es una interseccion en x de la grafica de P

Entre cualesquiera dos ceros sucesivos del polinomio, los valores del mismo seran todos positivos o negativos. Por lo tanto, entre dos ceros sucesivos la grafica se encontrara en su totalidad por encima o por debajo del eje x.

El comportamiento final esta determinado por el termino en el polinomio que tiene la potencia mas alta de x.

Recomendaciones Para Graficar Un Polinomio

1. Factorice el polinomio para determinar todos sus ceros reales, estos son las intersecciones con el eje x de la grafica.

2. Elabore una tabla de valores del polinomio evaluando x entre y, a la izquierda y a la derecha de los ceros determinados en el paso 1.

3. Grafique las intersecciones y los puntos determinados.

4. Determine el comportamiento final del polinomio.

5. Trace la curva suave que pase por los puntos graficados en el paso 3. y que exhiba el comportamiento final.

Funciones polinómicas: Son las funciones P(x), donde P es un polinomio en x, es decir una combinación finita de sumas y productos entre escalares (números) y la variable x. Usualmente, los escalares son números reales, pero en ciertos contextos, los coeficientes pueden ser elementos de un campo o un anillo arbitrario (por ejemplo, fracciones, o números complejos). 

Función constante: f(x)= a 
Función lineal: f(x)= ax + b es un binomio del primer grado 
Función cuadrática: F(x)= ax² + bx + c es un trinomio del segundo grado. 
Función racional: Son funciones obtenidas al dividir una función polinomial por otra, no idénticamente nula.


Características 
Las funciones polinómicas son aquellas cuya 
expresión es un polinomio, como por ejemplo: 
f(x)=3x4
-5x+6 
Se trata de funciones continuas cuyo dominio es el 
conjunto de los números reales.
En la figura se pueden ver las gráficas de las 
funciones polinómicas de grado menor que 3, que son 
las que se estudiarán en esta quincena. 
Observa la forma según su grado:
9 las de grado cero como f(x)=2, son rectas 
horizontales; 
9 las de grado uno, como f(x)=2x+4, son rectas 
oblicuas; 
9 las de grado dos, como f(x)=2x2
+4x+3, son 
parábolas cuyo eje es paralelo al de ordenadas.

Las funciones polinómicas son, como su nombre lo dice, funciones que constan de un polinomio.

en donde n es un entero positivo, llamado, grado del polinomio. Resulta evidente, que el coeficiente del grado mayor, no puede ser cero, o sea, a tiene que ser diferente de cero, para que el grado del polinomio se n. Cualquiera de los otros coeficientes puede ser cero.

Ejemplos de funciones polinómicas son:

 , la cual es de grado 3, ya que el exponente mayor es 3.

, que es una función polinómica de grado 2, o sea cuadrática, cuya gráfica es una parábola.

, que es de grado 6, ya que multiplicando todos los paréntesis, nos daría como mayor exponente el 6. Esta función se grafica más adelante, para hacer notar, que las intersecciones con los ejes y la factorización de la función polinomial tienen una estrecha relación.

La gráfica de las funciones polinómicas depende del grado de la función. Las funciones polinómicas de ciertos grados tienen ciertas alternativas de gráfica. Queda a este curso de derivadas averiguar algunas de las características de las funciones para poder predecir su comportamiento.

Muchas veces a partir de la gráfica de un polinomio se puede deducir la ecuación de la función. Ésto se puede hacer a partir de las intersecciones con los ejes. (Conste que comenté, que muchas veces, NO SIEMPRE).

Una función polinómica con el más alto número de intersecciones con el eje "x" permisible, es aquella que se puede determinar su gráfica y su ecuación.

Una función de, por ejemplo, tercer grado puede tener como máximo 3 intersecciones con el eje "x".

Una función de sexto grado puede tener como máximo 6 intersecciones con el eje "x".

Cabe aclarar, que las funciones polinómicas, aunque no conozcamos ahora los términos específcos, son funciones continuas,sin asíntotas verticales, ni horizontales, que según el grado pueden presentar máximos, mínimos y puntos de inflexión.