Matemáticas IV: función

jueves, 25 de abril de 2013

Función valor absoluto.

Recordemos que la definición del valor absoluto surge de nociones geométricas, y se relaciona con los conceptos de longitud y distancia.

La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula.

En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo.

Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces (los valores de x).

2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4. Representamos la función resultante.

En matemática, el valor absoluto o módulo¹ de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real $a\,$ está definido por:²

$|a| = \left \{ \begin{array}{rcl} a, & \mbox{si} & a \ge 0 \\ -a, & \mbox{si} & a < 0 \end{array} \right .$

Por definición, el valor absoluto de $a\,$ siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real $a\,$ es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica real

Propiedades fundamentales

$\|a\| \ge 0$	No negatividad
$\|a\| = 0 \iff a = 0$	Definición positiva
$\|ab\| = \|a\| \|b\|\,$	Propiedad multiplicativa
$\|a+b\| \le \|a\| + \|b\|$	Desigualdad triangular (Véase también Propiedad aditiva)

Otras propiedades

$\|-a\| = \|a\|\,$	Simetría
$\|a-b\| = 0 \iff a = b$	Identidad de indiscernibles
$\|a-b\| \le \|a-c\| + \|c-b\|$	Desigualdad triangular
$\|a-b\| \ge \|\|a\| - \|b\|\|$	(equivalente a la propiedad aditiva)
$\left\| \frac {a}{b}\right\| = \frac {\|a\|}{\|b\|} (si \ b \ne 0)$	Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)

Otras dos útiles inecuaciones son:

$|a| \le b \iff -b \le a \le b$
$|a| \ge b \iff a \le -b \vee b \le a$

Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:

$\|x-3\| \le 9$	$\iff -9 \le x-3 \le 9$
	$\iff -6 \le x \le 12$

El conjunto de los reales con la norma definda por el valor absoluto $(\R,|\cdot|)$ es un espacio de Banach

Ejemplos:

1.-

f(x) = |x - 2|

2.-

3.-

f(x) = |x² -4x + 3|

x² -4x + 3 = 0 x = 1 x = 3

4.-

Representa las función valor absoluto:

f(x) = |-x² + 5x - 4|

-x² + 5x - 4 =0 x² - 5x + 4 =0 x = 1 x = 4

6.-

Representa las función valor absoluto:

f(x) = |x| − x

x = 0

7.-

Representa las función valor absoluto:

f(x) = |x| / x

x = 0

Función Escalonada.

Una función escalonada es aquella función definida a trozos que en cualquier intervalo finito [a, b] en que esté definida tiene un número finito de discontinuidades c₁ < c₂ < ... < c_n, y en cada intervalo ]c_k, c_k+1[ es constante, teniendo discontinuidades de salto en los puntos c_k.

Informalmente, una función escalonada es aquella cuya gráfica tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes) al ser dibujada. El ejemplo más común de función escalonada es la función parte entera. Otras funciones escalonadas son la función unitaria de Heaviside o función escalón unitario, y la función signo.

Como caso general podemos ver la función y = s(x), definida así:

$\begin{array}{rrcl} s : & [-1,5 ] \in R & \to & R \\ & x & \to & y = s(x) \end{array}$

En el intervalo cerrado [-1, 5] de números reales sobre los números reales, asociando a cada x de [-1,5] un valor de y, según el siguiente criterio:

$s (x) = \left \{ \begin{array}{rcr} 1 & \mbox{si} & -1 \le x < 1 \\ -1 & \mbox{si} & 1 \le x < 2 \\ 3 & \mbox{si} & 2 \le x < 4 \\ 2 & \mbox{si} & 4 \le x \le 5 \end{array} \right.$

Esta función tiene cuatro intervalos escalonados, como se ve en la figura.

La composición de cualquier función escalonada s(x) y una función cualquiera f(x) da por resultado una función escalonada g(x) = f(s(x)), siempre que f(x) esté definida para cualquier valor de x en el rango de s(x).

Evidentemente, la derivada de una función escalonada es 0 en cualquier punto en que se halle definida. No puede definirse en los puntos en que hay discontinuidades.

Ejemplos:

1.-

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